Modèle de Markowitz : la frontière efficiente

Qu'est ce que le modèle de Markowitz ?

La théorie moderne du portefeuille développé par Markowitz (frontière efficiente) est un modèle d'allocations d'actifs visant à optimiser le couple rendement / risque d'un portefeuille boursier. Cette théorie permet de sélectionner des actifs dans une optique de diversification. Pour lui, le concept de diversification du portefeuille est à la base des choix d'investissements mais ce n'est pas suffisant, il faut optimiser cette diversification. Les actifs doivent être sélectionnés de manière globale en tenant compte des différentes corrélations entre leurs variations. L'objectif étant de réduire le risque au maximum pour un niveau de rendement donné. C'est le principe de la frontière efficiente.

Hypothèses du modèle de Markowitz

Il part pour cela de l'hypothèse que les marchés sont efficients et que les différents acteurs sont rationnels. Il soutient donc la théorie forte de l'efficience selon laquelle les cours reflètent l'ensemble des informations disponibles pour chaque actif.

L'autre hypothèse défendu pour la théorie moderne du portefeuille de Markowitz est l'aversion au risque des investisseurs. Un investisseur acceptera de prendre plus de risque seulement si un supplément de rentabilité lui est proposé. Tous les investisseurs auront toutefois un ratio rendement/risque différent selon leur profil investisseur et leur aversion au risque.

Formules de la théorie moderne du portefeuille de Markowitz

- Le rendement d'un portefeuille est égal à la somme des rentabilités des différents actifs contenus dans ce portefeuille, que l'on va pondérer par leur poids.

E(Rp) = Espérance de rentabilité du portefeuille
wi = poids de l'actif dans le portefeuille
E(Ri) = Espérance de rentabilité de l'actif

- La volatilité du portefeuille (risque) va uniquement dépendre de la corrélation entre les différents actifs. La volatilité sera définie par l'écart type :

avec la variance que l'on calcule de la manière suivante, pour un portefeuille composé de deux actifs :

avec :
: covariance entre les deux actifs que l'on peut exprimer en
: la variance de l'actif
: la corrélation entre les deux actifs

L'investisseur va alors pouvoir tester différentes combinaisons d'actifs afin d'obtenir le rendement le plus élevé pour un risque donné. Il lui suffira de choisir des actifs peu ou pas corrélés afin de minimiser la volatilité du portefeuille.

Frontière efficiente de Markowitz

Markowitz a également introduit la notion de frontière efficiente. Chaque actif possède un couple risque/rendement qu'il est possible de représenter graphiquement. Pour chaque rendement, il existe un portefeuille qui minimise le risque. À l'inverse, pour chaque niveau de risque, on peut trouver un portefeuille maximisant le rendement attendu. L'ensemble de ces portefeuilles est appelé frontière efficiente. Voici une représentation graphique :

Selon Markowitz :
- Les points situés sous la courbe ne doivent pas intéresser les investisseurs
- Les points situés sur la courbe sont les portefeuilles recherchés par les investisseurs

La notion d'actif sans risque de Markowitz

La théorie moderne du portefeuille de Markowitz défend également l'idée que le portefeuille peut être constitué d'actif sans risque. Il s'agit généralement des emprunts d'Etats court terme. Le rendement de ces actifs est connu d'avance et la variance est nulle. Selon le risque choisit, l'investisseur pourra alors associer un autre actif à l'actif sans risque en fonction de sa tolérance au risque. Plus l'investisseur aura une forte aversion au risque, plus il incorporera d'actif sans risque dans son portefeuille. L'actif sans risque est représenté graphiquement par une tangente à la frontière efficiente comme le montre le graphique ci dessous :

L'extrémité gauche de la demi-droite représente un portefeuille composé uniquement d'actif sans risque. Plus on remonte, plus la proportion en actif sans risque dans le portefeuille diminue et celle en actifs risqués augmente. Au niveau du point de tangence, le portefeuille optimal est composé à 100% d'actifs risqués, et au delà, l'actif sans risque est cette fois emprunté et le portefeuille possède donc un effet de levier.

Critiques du modèle de Markowitz

- Les corrélations entre les différents actifs ne sont pas constants, ils évoluent dans le temps
- La courbe de distribution est Gaussienne et ne prend pas en compte les événements improbables telles que les crises financières ou les krach boursier.
- Les investisseurs ne sont pas rationnels (finance comportementale)